3. Qubits & Framework of Quantum Mechanics

Quantum Mechanics

Physical Theory 들을 이용하여 개발하고자 하는 Framework 입니다

Mechanics 자체가 물리적인 이론은 아닙니다.

이 Mechanics는 물리이론이 만족해야하는 4가지 수학적 가설 을 포함합니다

Postulates (가설 )

Statics or State space - 통계 및 상태 공간 : Closed System의 state를 설명

모든 물리적 System은 inner product space 로 이루어진 Hilbert space 안에서 이루어집니다.
⇒ 이를 통해 Qubit 의 state를 정의하는 finite 한 vector space를 표현할 수 있습니다.

이와 관련된 Bloch Sphere 를 아래에서 보실 수 있습니다.

2. Dynamics - 역학 : Closed system의 evolution을 설명

닫힌 계는 슈뢰딩거 방정식에 의해 설명 됩니다.

$i {\displaystyle \hbar }{d|\psi> \over dt}=H|\psi>$ 이 파동 방정식은 2가지 의미를 지니고 있습니다.

하나는 시간에 따른 evolution을 의미합니다.

다른 하나는 Probability와 Amplitude 쪽에서 Quantum Interference 입니다.

그리고 이런 시간에 따른 evolution은 unitary operator U 에 의해 설명됩니다.

$U(t_1,t_2)= exp[{-iH(t_2-t_1) \over {\displaystyle \hbar }}]$

왜 U 냐면요, U만이 공간에서 정의된 linear operation(연산) 에서 유일하게 Norm을 보존시킵 니다.

이러한 Unitary Operator들의 몇가지 예제인 Pauli Gate를 소개시켜드리겠습니다.

3. Measurement - 측정 : System(계)와 External(외부) 와의 상호작용을 설명

Measurement Operator $P_m$ 에 의해 측정됩니다.

측정 되기 전의 state가 $|\psi>$ 이었을 때, 측정 확률 $p(m)$ 은 다음과 같습니다

$p(m)=<\psi|P_m^†P_m|\psi>$

그리고 측정 후의 state 는 다음과 같습니다 ${P_m|\psi> \over \sqrt{<\psi|P_m^†P_m|\psi>}}$

측정 연산자는 다음과 같은 성질이 있습니다 $\Sigma_{m} p(m)= \Sigma_{m}<\psi|P_m^†P_m|\psi> =<\psi|I|\psi> =1$

Measurement 라는 것은, 특정 orthonormal basis에 projection 시킨 것입니다.

이렇게 측정 되는 과정을 붕괴(collapse) 한다고 표현합니다.

이로 인해 생기는 단점이 있습니다. ( Global Phase Problem )

바로 $|0>+|1>$ 과 $|0> - |1>$ 의 확률이 같아서 구별할 수 없는 것 인데요.

이 특징은, projection 시킬 orthonormal basis를 different 하게 가져가면, 확률도 달라져서 구별 가능하게 해결 할 수 있습니다.

[예제] Single Qubit 에 대해서,

Measurement Operator $P_0=|0><0| , \quad P_1=|1><1|$ 이 있음을 알 수 있습니다.

만약 qubit 이 $\alpha |0> + \beta |1>$ 와 같은 상태일때, 각각을 측정하는 확률은 아래와 같습니다.

$p(0)=\, <\psi | P_0^†P_0|\psi> \,= \,|\alpha^2| , \qquad p(1)\,= \,<\psi | P_1^†P_1|\psi> \,=\, |\beta^2|$

Projection : $|u><u|$ 는 |u> 에 생성된 1차원 공간에 사영 시킨 것 ⇒ 때로, 이것을 Density operator $\rho$ 라고도 부릅니다.

4. Component - 부품 : 부품의 관점에서 복합 시스템의 state를 설명

무슨말이냐면, 개별 Vector $|\psi>$ 를 Tensor Product 하여 모두 표현 할 수 있다는 것입니다. 다시말하면, 조합된(Entangled) state를 Tensor 곱으로 Separate 시킬 수 있습니다.

Bloch Sphere

우리는 고전 역학에서 통계와 확률의 개념이 없었다는 점을 다시 한 번 짚고 넘어갑니다.

이에 따라서 결정론적 → 확률적 bit → 확률적 quantum(vector) 의 개념의 순서로 진행됩니다

이 개념은 측정(Measurement) 할 때, 붕괴(collapse) 되는 과정에서 생기는 Global Phase를 측정할 수 없는 문제를 해결할 수 있습니다.

Qubit

Qubit은 2-state system 입니다. "0"과 "1". 수학적으로 이것을 Vector로 표현합니다. 다시 표현하면 $|\psi\rangle = \alpha \: |0\rangle + \beta \: |1\rangle$ 과 같습니다.

Polar coordinate

| $\psi \rangle$ 가 Normalized 됐다고 할 때, ( $\langle \psi|\psi\rangle = 1$ )

$| \alpha |^2 + | \beta |^2 = 1$ . 과 같습니다

이제 우리는 Amplitude 와 Phase 를 분리해서 $\alpha$ 와 $\beta$ 를 표현 할 수 있습니다.

$\alpha = r_{\alpha} \: e^{i \phi_{\alpha}}$

$\beta = r_{\beta} \: e^{i \phi_{\beta}}$

그리고 이것을 우리가 아는 실수부와 허수부로 나누는 표현을 합니다

$|\psi\rangle = \Alpha \: |0\rangle + \: e^{i \phi}|1\rangle$

이 때 다음을 이용하여 새로 표현할 수 있습니다.

$\sqrt{\alpha^2+\beta^2}=1$

$\sqrt{sin^2x+cos^2x}=1$

$\alpha = cos{\theta \over 2}$

$\beta = sin{\theta \over 2}$

$|\psi\rangle = cos{\theta \over 2} \: |0\rangle + sin{\theta \over 2}\: e^{i \phi}|1\rangle$

$x = r \: sin \theta \: cos \phi,$

$y = r \: sin \theta \: sin \phi,$

$z = r \: cos \theta,$

앞서 배웠던 Unitary Operator를 이용하면 Bloch Sphere 상에서 회전하게 됩니다.

Mixed States and the Bloch Sphere

⇒ Pure state 면 |r|=1 이고, Mixed 이면 |r|<1 입니다.

Gate, Operators, Matrices —→ Pauli Gates

이러한 선형 연산자들을, Matrix 로 표현할 수도 있고요, Gate로 표현할 수도 있습니다.

Pauli Gates 는 Unitray Operator의 성질을 가지고 있습니다. 다시 한번 확인해 볼까요

Unitary : $AA^† = A^†A= I$ ( When, $A^† = (A^*)^T$ ) → Pauli Gates들은 위를 만족하는 것을 알 수 있습니다.

X (Classic NOT)

$\sigma_1 =\sigma_x =\\ X= \begin{bmatrix} 0 \, 1 \\ 1 \, 0 \end{bmatrix}$

X|0> = |1>

X|1> = |0>

$\sigma_2 =\sigma_y =\\ Y= \begin{bmatrix} 0 \, -i \\ i \quad 0 \end{bmatrix}$

Y|0> = $i$ |1>

Y|1> = $-i$ |0>

Z (180도 회전)

$\sigma_3 =\sigma_z =\\ Z= \begin{bmatrix} 1 \quad 0 \\ 0 \, -1 \end{bmatrix}$

Z|0> = |0>

Z|1> = -|1>

$\sigma_0 = \\ I= \begin{bmatrix} 1 \, 0 \\ 0 \, 1 \end{bmatrix}$

I|0> = |0>

I|1> = |1>

Gate, Operators, Matrices —→ Hadamard Gates

앞에서 배운 Hadamard Basis를 잠시 보겠습니다

이 Gate의 사용은, basis 변환에 사용됩니다.

basis 변환을 하는 이유는, Measurement 했을 때, 확률이 같아서 구분 못하는 경우 - Postualte 3에 해당 됩니다.

Hadamard Gate

$|+〉 = {1 \over \sqrt2} ( |0〉 + |1〉)$

$|-〉 = {1 \over \sqrt2} ( |0〉 - |1〉)$

$H={1 \over \sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 \quad \; 1 \\ 1 \, -1 \end{bmatrix}$

Hadamard Gate의 특징은, Qubit을 0과 1의 상태를 동시에 가질 수 있도록 중첩을 시켜 줍니다

이 Gate 또한 Unitary : $AA^† = A^†A= I$ 의 특성을 만족하기 때문에 Gate를 2번 통과시키면 원상태로 돌아옵니다.

Density Operator & Mixed State

Pure State : $|0\rangle, |1\rangle$ 같이 1개만 있는것

In pure States : $\rho = |\psi\rangle\langle\psi|$ $Tr(\rho^2) =1$

Mixed State : $|01\rangle$ 같은 것

In mixed states : $\rho = \Sigma p_i|\psi_i\rangle\langle\psi_i|$ $Tr(\rho^2) <1$

Tr() 을 이용하여 Pure state와 Mixed State를 쉽게 구분할 수 있습니다.

Partial Trace ( Reduced Density Operator)

Composite system의 sub system에서 기술할 때 쓰입니다.

$\rho^A =tr^B (\rho_{AB})$ 라고 하고, A system과 B system의 vector 가 각각 $a_i , b_i$ 라고 할 때

$tr^B(\rho_{AB})= tr^B(|a_1\rangle\langle a_2|⊗|b_1\rangle\langle b_2|) = |a_1\rangle\langle a_2| \quad tr(|b_1\rangle\langle b_2|) = |a_1\rangle\langle a_2| \quad \langle b_2|b_1\rangle$ 라고 표현 할 수 있습니다.

이 결과를 이용하면 아래와 같은 결론을 얻을 수 있습니다

$\rho_A$ is pure state → $\rho_{AB}$ is seperable ( not entagled) $\rho_A$ is mixed state → $\rho_{AB}$ is entangled

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