양자 물리학을 배우지 않았으면 |0>
이라는 표현이 제일 먼저 생소하게 다가올 것입니다.
이 표현은 Dirac Notation
이라고 하는데, 먼저 이 표현에 대해서 알아보겠습니다.
1. Dirac Notation
- 일반적으로, C2 의 2-d 공간에서, (Complex Number)
vector[αβ] 는 α|0> + β|1>로 표기할 수 있습니다.
- 이 때, ∣0> =[10]이고 ∣1> = [01] 입니다.
- |Φ> - 는 ket 이라고 부르고, Vector의 Dirac Noation 입니다.
우리는 앞으로 Dirac Notation을 사용하여 Vector를 많이 사용할텐데, 앞으로 이렇게 자주 사용하기에 앞서 선형대수학을 잠시 복습해보고 넘어가겠습니다.
2. Review of Linear Algebra
Linear Vector space
- 벡터 공간은 <+>연산에 대해서 commutative 하고 associative 합니다
- Identity 0 (null vector) : |v>+0 = |v>
- Inverse : |v> + |-v> = Identity 0
- associative : |a> + (|b>+|c>) = (|a> + |b>) +|c>
- 벡터 공간은 scalar에 대해서 <*> 연산이 닫혀있습니다
Vector and Basis
- ∣v〉=α1∣v1〉+...+αn∣vn〉
Matrix
- A∣vj〉=∑i=1mαij∣wi〉
Inner Product
- <u|v> = <v|u>* where the * denotes the complex conjugate (skew-symmetry)
- <u|u> ≥ 0 (note : <u|u> is real number ) and <u|u≥0 iff |u> = 0
<u|v>
=∑iui∗vi
- 여기서
<u|
: Bra 라고 부르며 vector 에서 Transpose AT 와 같습니다.
Norm
|| |v> ||
= <v∣v>
- <u|u>=0 , if is orthogonal
- Orthonomal , made up of pairwise orthogonal & unit vector
- Vector Space 중 이러한 inner product 로 이루어진 공간을 Hilbert 공간(Η)이라고 한다
Outer Product
|u><v|
: |u> ∈ U , |v> ∈ V 일 때 → |u><v|
: V → U 로 하는 것
- Commutative : (∣u〉〈v∣)∣v′〉=〈v∣v′〉∣u〉
- Projection : ∣u><u∣ 는 |u> 에 생성된 1차원 공간에 사영 시킨 것
- 모든 linear Operator는 Combination of Outer Product로 표현 될 수 있다
Eigenvalues & Eigenvector
- A∣v>=λ∣v> , where Complex Number λ, And λ is Eigenvalue
then , ∣v⟩ is Eigenvector
- det(A−λI)=0
[예제]
뒤에서 나오겠지만, Pauli gate X (NOT Gate)의 Eigenvalue와 Eigenvector는 다음과 같습니다
Eigenvector (EigenState) : 2∣0⟩−∣1⟩ , 2∣0⟩+∣1⟩ ⇒ Hadamard Basis
Eigenvalue : -1 , 1
[과정]
X=[0110] , I=[1001]
det(X−λI)=det([−λ11−λ])=λ2−1=0 , then λ=+1,−1 (Eigenvalue)
1) λ=1
[−λ11−λ]∣v⟩=[−111−1](v1v2)=0,(v1v2)=21(11),(normalized)
⇒ 2∣0⟩+∣1⟩ , called |+>
2) λ=−1
[−λ11−λ]∣v⟩=[1111](v1v2)=0,(v1v2)=21(1−1),(normalized)
⇒ 2∣0⟩−∣1⟩ , called |->
Diagonal
- A=Σiλi∣vi><vi∣=⎣⎢⎡λ1 ... λn⎦⎥⎤
Adjoint
- A†=(A∗)T 입니다 ( * is complex conjugation)
- <v∣Aw>=<A†v∣w>
Trace
- Tr(A)=Σbn<bn∣A∣bn>
- bn은 Orthonormal Basis 입니다
Normal & Unitary & Hermition
- Normal : AA†=A†A (정방행렬일 경우, Normal 합니다)
- Unitary : AA†=A†A=I
- Hermition : A†=(A∗)T=A ⇒ Real Eigenvalue 를 가지고 있을 때
Tensor Product
|u>|v>
=|uv>
= u⊗v
: U가 dim(m), V가 dim(n) 일 때, u⊗v
는 dim(nm) 이 된다.
- 성질
A⊗B
|uv>
= |AB>
|uv>
= | (Au), (Bv) >
- 연산 방법 : Kronecker Product
A⊗B=⎣⎢⎢⎢⎡A11BA12B...A1nBA21BA22B...A2nB............An1BAn2B...AnnB⎦⎥⎥⎥⎤
(1i)⊗(−i0)=⎝⎜⎜⎜⎛1(−i0)i(−i0)⎠⎟⎟⎟⎞=⎝⎜⎜⎜⎛−i010⎠⎟⎟⎟⎞
(0−ii0)⊗(100−1)=⎝⎜⎜⎜⎛0(100−1)−i(100−1)i(100−1)0(100−1)⎠⎟⎟⎟⎞=⎝⎜⎜⎜⎛00−i0000ii0000−i00⎠⎟⎟⎟⎞
Hadamard basis
- ∣+〉=21(∣0〉+∣1〉)
- ∣−〉=21(∣0〉−∣1〉)
Dirac Notation 연산 특징
- (∣i>∣j>)†=<j∣<i∣
- ∣ij><kl∣=(∣i>⊗∣j>)(<k∣⊗<l∣)=∣i><k∣⊗∣j><l∣
Schmidt Decomposition
- 어떤 Vector ∣ψ⟩ 이 있을 때, 이 vector를 orthonormal 한 basis ∣in⟩ (Schmidt bases) 로 분해하고, 그 계수 λn (Schmidt coefficients) 로 표현하는 것
Cauchy-Schwarz Inquality
- ∣⟨v∣w⟩∣2≤⟨v∣v⟩⟨w∣w⟩
- (proof) Orthonoraml basis ∣i⟩=⟨w∣w⟩∣w⟩ by Gram-Schmidt
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