2. Linear Algebrea & the Dirac Notation

양자 물리학을 배우지 않았으면 |0> 이라는 표현이 제일 먼저 생소하게 다가올 것입니다.

이 표현은 Dirac Notation 이라고 하는데, 먼저 이 표현에 대해서 알아보겠습니다.

1. Dirac Notation

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• Vector 를 다르게 표기함

• 일반적으로, C$^2$ 의 2-d 공간에서, (Complex Number) vector$\begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \end{bmatrix}$ 는 α|0> + β|1>로 표기할 수 있습니다.

• 이 때, $|0>$ =$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$이고 $|1>$ = $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ 입니다.

• |Φ> - 는 ket 이라고 부르고, Vector의 Dirac Noation 입니다.

우리는 앞으로 Dirac Notation을 사용하여 Vector를 많이 사용할텐데, 앞으로 이렇게 자주 사용하기에 앞서 선형대수학을 잠시 복습해보고 넘어가겠습니다.

2. Review of Linear Algebra

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Linear Vector space

• 벡터 공간은 <+>연산에 대해서 commutative 하고 associative 합니다
  • Identity 0 (null vector) : |v>+0 = |v>
  • Inverse : |v> + |-v> = Identity 0
  • associative : |a> + (|b>+|c>) = (|a> + |b>) +|c>

• 벡터 공간은 scalar에 대해서 <*> 연산이 닫혀있습니다

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Vector and Basis

• $|v〉 = \alpha_1|v_1〉 + ... + \alpha_n|v_n〉$

Matrix

• $A|v_j〉 = \sum_{i=1}^m \alpha_{ij} |w_i〉$

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Inner Product

• <u|v> : Bra-ket 이라고 부릅니다

• <u|v> = <v|u>* where the * denotes the complex conjugate (skew-symmetry)

• <u|u> ≥ 0 (note : <u|u> is real number ) and <u|u≥0 iff |u> = 0

• <u|v> $= \sum_{i} u_i^*v_i$

• 여기서 <u| : Bra 라고 부르며 vector 에서 Transpose $A^T$ 와 같습니다.

Norm

• || |v> || = $\sqrt{<v|v>}$

• <u|u>=0 , if is orthogonal

• Orthonomal , made up of pairwise orthogonal & unit vector

• Vector Space 중 이러한 inner product 로 이루어진 공간을 Hilbert 공간(Η)이라고 한다

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Outer Product

• |u><v| : |u> ∈ U , |v> ∈ V 일 때 → |u><v| : V → U 로 하는 것

• Commutative : $( |u〉〈v| ) \; |v'〉 \; = 〈v|v'〉\;|u〉$

• Projection : $|u><u|$ 는 |u> 에 생성된 1차원 공간에 사영 시킨 것

• 모든 linear Operator는 Combination of Outer Product로 표현 될 수 있다

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Eigenvalues & Eigenvector

• $A|v> = \lambda |v>$ , where Complex Number $\lambda$, And $\lambda$ is Eigenvalue then , $|v\rangle$ is Eigenvector

• $det(A-\lambda I)=0$

[예제] 뒤에서 나오겠지만, Pauli gate X (NOT Gate)의 Eigenvalue와 Eigenvector는 다음과 같습니다 

  Eigenvector (EigenState) : ${|0\rangle - |1\rangle \over \sqrt2}$ , ${|0\rangle + |1\rangle \over \sqrt2}$ ⇒ Hadamard Basis

  Eigenvalue : -1 , 1 

 [과정] $X= \begin {bmatrix} 0 \; 1 \\ 1 \; 0 \end {bmatrix}$ , $I= \begin {bmatrix} 1 \; 0 \\ 0 \; 1 \end {bmatrix}$ 

$det(X-\lambda I)= det( \begin {bmatrix} -\lambda \quad 1 \\ 1 \quad -\lambda \end {bmatrix} ) = \lambda^2 -1 = 0$ , then $\lambda = +1, -1$ (Eigenvalue) 

 1) $\lambda=1$ $\begin {bmatrix} -\lambda \quad 1 \\ 1 \quad -\lambda \end {bmatrix} |v\rangle = \begin {bmatrix} -1 \quad 1 \\ 1 \quad -1 \end {bmatrix} \begin {pmatrix} v_1 \\ v_2 \end {pmatrix} = 0 , \quad \begin {pmatrix} v_1 \\ v_2 \end {pmatrix} = {1 \over \sqrt 2} \begin {pmatrix} 1 \\ 1 \end {pmatrix} , \; (normalized)$ ⇒ ${|0\rangle + |1\rangle \over \sqrt2}$ , called |+> 2) $\lambda= -1$ $\begin {bmatrix} -\lambda \quad 1 \\ 1 \quad -\lambda \end {bmatrix} |v\rangle = \begin {bmatrix} 1 \quad 1 \\ 1 \quad 1 \end {bmatrix} \begin {pmatrix} v_1 \\ v_2 \end {pmatrix} = 0 , \quad \begin {pmatrix} v_1 \\ v_2 \end {pmatrix} = {1 \over \sqrt 2} \begin {pmatrix} 1 \\ -1 \end {pmatrix} , \; (normalized)$ ⇒ ${|0\rangle - |1\rangle \over \sqrt2}$ , called |->

Diagonal

• $A=\Sigma_{i} \lambda_i|v_i><v_i| = \begin{bmatrix} \lambda_1 \, \, \, \, \, \, \, \ \\ \, \, \, ... \\\ \, \, \, \, \, \, \, \; \; \lambda_n \end{bmatrix}$

Adjoint

• $A^† = (A^*)^T$ 입니다 ( * is complex conjugation)

• $<v|Aw> = <A^†v|w>$

Trace

• $Tr(A)=\Sigma_{b_n} <b_n|A|b_n>$

• $b_n 은$ Orthonormal Basis 입니다

• Trace는 linearity를 가집니다
  • tr(A+B) = tr(A) + tr(B)
  • tr(cA) = c tr(A)

• Trace 는 교환 법칙이 성립됩니다
  • tr(AB) = tr(BA)

• tr(|u><v|) = <v|u>

Normal & Unitary & Hermition

• Normal : $AA^† = A^†A$ (정방행렬일 경우, Normal 합니다)

• Unitary : $AA^† = A^†A= I$

• Hermition : $A^† = (A^*)^T = A$ ⇒ Real Eigenvalue 를 가지고 있을 때

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Tensor Product

• |u>|v>=|uv> = u⊗v : U가 dim(m), V가 dim(n) 일 때, u⊗v 는 dim(nm) 이 된다.

• 성질
  • A⊗B |uv> = |AB> |uv> = | (Au), (Bv) >

• 연산 방법 : Kronecker Product $A⊗B=\begin{bmatrix} A_{11}B \quad A_{12}B \quad ... A_{1n}B \\ A_{21}B \quad A_{22}B \quad ... A_{2n}B \\ ... \quad ... \quad ... ... \\ A_{n1}B \quad A_{n2}B \quad ... A_{nn}B \\ \end{bmatrix}$

• Example

$\begin{pmatrix} 1 \\ i \end{pmatrix} ⊗ \begin{pmatrix} -i \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \begin{pmatrix} -i \\ 0 \end{pmatrix} \\ i\begin{pmatrix} -i \\ 0 \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -i \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 0 \, -i \\ i \quad 0 \end{pmatrix} ⊗ \begin{pmatrix} 1 \quad 0 \\ 0 \, -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \begin{pmatrix} 1 \quad 0 \\ 0 \, -1 \end{pmatrix} \, -i \begin{pmatrix} 1 \quad 0 \\ 0 \, -1 \end{pmatrix} \\ i \begin{pmatrix} 1 \quad 0 \\ 0 \, -1 \end{pmatrix} \quad 0 \begin{pmatrix} 1 \quad 0 \\ 0 \, -1 \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \quad 0 \quad -i\quad 0 \\ 0 \quad\; 0 \quad\; 0 \quad\; i \\ i \quad\; 0 \quad\; 0 \quad 0 \\ 0 \quad -i \quad 0 \quad 0 \\ \end{pmatrix}$

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Hadamard basis

• $|+〉 = {1 \over \sqrt2} ( |0〉 + |1〉)$

• $|-〉 = {1 \over \sqrt2} ( |0〉 - |1〉)$

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Dirac Notation 연산 특징

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• $(|i>|j>)^† = <j|<i|$

• $|ij><kl| = (|i>⊗|j>)(<k|⊗<l|) = |i><k|⊗|j><l|$

Schmidt Decomposition

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• 어떤 Vector $|\psi\rangle$ 이 있을 때, 이 vector를 orthonormal 한 basis $|i_n\rangle$ (Schmidt bases) 로 분해하고, 그 계수 $\lambda_n$ (Schmidt coefficients) 로 표현하는 것

Cauchy-Schwarz Inquality

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• $|⟨v|w⟩|^2≤⟨v|v⟩⟨w|w⟩$

• (proof) Orthonoraml basis $|i⟩={ |w⟩ \over \sqrt{⟨w|w⟩}}$ by Gram-Schmidt

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